När gör man matte 5

I detta på denna plats avsnittet introducerar oss begreppet permutation samt inom vilka situationer dessa förekommer, samt lär oss hur oss förmå beräkna antalet permutationer. förståelse ifall hur oss kalkylerar antalet permutationer kommer oss även för att nyttja oss från inom nästa del, då oss kalkylerar antalet kombinationer.

Permutationer

Tänk dig för att detta står tre olika skrivna verk vid en hyllplan inom enstaka bokhylla. vid hur flera olika sätt kunna ni ordna dessa skrivna verk bredvid varandra vid hyllplanet?

Vi kunna tänka därför här: ett från böckerna kommer för att stå längst bort mot vänster, enstaka inom mitten samt ett längst bort mot motsats till vänster. angående oss börjar tillsammans för att välja vilken från dem tre böckerna likt bör stå längst bort mot vänster, besitter oss alltså tre skrivna verk för att välja vid. då oss sedan besitter valt den volym såsom bör stå längst bort mot vänster återstår numeriskt värde böcker;  en från dessa numeriskt värde skrivna verk bör stå inom mitten. Sedan oss valt vilken volym likt bör stå mot vänster samt vilken såsom bör stå inom mitten återstår bara enstaka lärobok, därför den boken får då stå längst bort mot motsats till vänster vid hyllplanet.

Det denna plats innebär för att oss ursprunglig bör välja en element från tre, sedan en element från numeriskt värde samt slutligen en element från en. Därför finns detta sex olika tänkbara sätt för att ordna böckerna bredvid varandra, vilket oss kommer fram mot tillsammans hjälp från multiplikationsprincipen:

$$3\cdot 2\cdot 1=6$$

Om oss betecknar böckerna a, b samt c, besitter oss alltså nästa sätt för att ordna böckerna ifrån vänster mot motsats till vänster vid hyllplanet: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Dessa olika sätt för att ordna böckerna kallar oss permutationer från tre element ur kvantiteten {a, b, c}.

n-fakultet

När oss beräknar tillsammans antalet permutationer stöter oss ofta vid beräkningar från typen

$$3 \cdot 2 \cdot 1$$

För för att underlätta våra beräkningar används skrivsättet 3! då oss menar

$$3 \cdot 2 \cdot 1$$

Detta utläses "3-fakultet". vid motsvarande sätt existerar mot modell 5! identisk sak som

$$5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

vilket utläses "5-fakultet".

Allmänt gäller till naturliga anförande n för att n! (vilket utläses "n-fakultet") existerar definierat som

$$\begin{cases} n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \,...\, \cdot 3\cdot 2\cdot 1 & \text{ angående } n\geq 1 \\ 0!=1 & \text{ ifall } n=0 \end{cases}$$

Detta innebär för att t.ex. 5! tolkas vid nästa sätt:

$$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$$

Vi kunna titta n-fakultet såsom enstaka talföljd med elementen

$$1,\,2,\,6,\,24,\,120,\,...$$

för n ≥ 1.

Därigenom inser oss även för att oss är kapabel beräkna värdet vid detta n:te elementet inom denna nummerföljd tillsammans med hjälp från enstaka rekursiv formel. angående oss t.ex. känner mot värdet vid 4! kunna oss enkel beräkna värdet vid 5!, ifall oss känner mot värdet vid 3! kalkylerar oss enkel värdet vid 4!, samt därför vidare ner mot 0! (värdet vid 0! existerar ju per definition lika tillsammans med 1):

$$5!=5\cdot 4!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 0!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=$$

$$=120$$

Antal permutationer

I vårt tidigare modell tillsammans med böckerna vid hyllplanet undersökte oss vid hur flera sätt oss är kapabel ordna ifall samtliga dessa böcker.

Ett mer allmänt fall från detta existerar för att oss besitter n skrivna verk samt önskar välja ut k från dessa skrivna verk, samt undersöka vid hur flera olika sätt oss kunna utföra detta, ifall oss tar hänsyn mot den ordning såsom dem utvalda böckerna hamnar i.

Till modell är kapabel oss äga 5 skrivna verk inom hyllan samt bör välja ut 2 från dessa skrivna verk. Då är kapabel oss välja den inledande boken vid 5 olika sätt. Därefter finns detta 4 skrivna verk kvar för att välja mellan. Alltså kunna oss utföra dessa båda omröstning vid därför denna plats flera sätt (antal permutationer då 2 element från 5 element väljs):

$$5\cdot 4=20$$

Allmänt gäller för att då oss väljer ut k element ifrån ett mängd bestående från n element samt oss tar hänsyn mot ordningen elementen hamnar inom, vilket oss skriver P(n, k), kunna antalet sätt för att utföra detta beräknas vid nästa sätt:

$$P(n,\,k)=n\cdot (n-1)\cdot\,...\,\cdot (n-k+1)$$

där 0 ≤ k ≤ n.

Detta kunna oss förenkla mot nästa formel, tillsammans med vars hjälp oss enkelt förmå beräkna antalet permutationer då k element från n element väljs:

$$P(n,\,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

där 0 ≤ k ≤ n.

När oss mot modell kalkylerar antalet sätt för att välja 2 skrivna verk från 5 skrivna verk samt tar hänsyn mot ordningen dessa skrivna verk hamnar inom, beräknar oss alltså sålunda här:

$$P(5,\,2)=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=5\cdot 4=20$$

När oss kalkylerar antalet permutationer finns detta några specialfall vilket existerar god för att uppleva till: 

$$P(n,\,n)=n!$$

$$P(n,\,1)=n$$

$$P(n,\,0)=1$$

Det inledande specialfallet, för att P(n, n) = n!, motsvarar situationen inom vårt inledande modell inom detta på denna plats avsnittet, var oss undersökte vid hur flera sätt oss förmå ordna ifall 3 skrivna verk (alltså 3 från 3 skrivna verk väljs), vilket visade sig artikel 3!.

Vi är kapabel härleda antalet permutationer inom detta inledande specialfallet genom för att nyttja den allmänna formeln, var oss låter k = n gälla:

$$P(n,\,n)=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!$$

Det andra specialfallet, för att P(n, 1) = n, innebär för att oss väljer en element från n element. för att detta är kapabel ske vid n olika sätt kunna framstå vilket självklart, dock oss förmå härleda för att detta gäller genom för att nyttja den allmänna formeln, var oss låter k = 1 gälla:

$$P(n,\,1)=\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}=n$$

Det tredjeplats specialfallet, för att P(n, 0) = 1, innebär helt enkelt för att detta finns en enda sätt för att ej välja något element från n element (och detta existerar för att ej välja något element). Även detta är kapabel oss härleda tillsammans hjälp från den allmänna formeln, var k = 0 gäller:

$$P(n,\,0)=\frac{n!}{(n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1$$

Tolka samt beräkna nästa antal permutationer:

1. P(7, 3)
   P(7, 3) tolkar oss likt antalet permutationer då oss väljer 3 element från 7 element.
   Vi kalkylerar antalet permutationer således här:
   $$P(7,\,3)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=$$
   $$=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=7\cdot 6\cdot 5=210$$
   Antalet permutationer då oss väljer 3 element från 7 element existerar alltså 210.
2. P(7, 7)
   P(7, 7) tolkar oss liksom antalet permutationer då oss väljer 7 element från 7 element, detta önskar yttra samtliga sju element.
   Detta motsvarar detta inledande specialfallet likt oss tog upp ovan, således oss vet för att antalet permutationer blir
   $$P(7,\,7)=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5\,040$$
   Antalet permutationer då oss väljer 7 element från 7 element existerar alltså 5040.
3. P(7, 1)
   P(7, 1) tolkar oss vilket antalet permutationer då oss väljer en element från 7 element.
   Detta motsvarar detta andra specialfallet ovan, därför oss vet för att antalet permutationer existerar lika flera likt antalet element, detta önskar yttra 7:
   $$P(7,\,1)=7$$
   Vill oss ändå beräkna P(7, 1) tillsammans med den allmänna formeln på grund av antalet permutationer, får oss följande:
   $$P(7,\,1)=\frac{7!}{(7-1)!}=\frac{7!}{6!}=\frac{7\cdot 6!}{6!}=7$$
   Antalet permutationer då oss väljer en element från 7 element existerar alltså 7.
4. P(7, 0)
   P(7, 0) tolkar oss såsom antalet permutationer då oss väljer noll element från 7 element. Detta motsvarar detta tredjeplats specialfallet ovan, således oss vet för att antalet permutationer existerar en, eftersom oss kunna välja noll element vid bara en enda sätt:
   $$P(7,\,0)=1$$
   Vill oss ändå beräkna P(7, 0) tillsammans med den allmänna formeln till antalet permutationer, erhålla oss följande:
   $$P(7,\,0)=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1$$
   Antalet permutationer då oss väljer noll element från 7 element existerar 1.

I nästa del introducerar oss detta något som ligger nära eller är i närheten begreppet kombination och går igenom hur oss kalkylerar antalet kombinationer.