Vad är ett förslag i matematik
Matematik
Matematik (från grekiska: Μαθηματικά) existerar enstaka teoretisk samt generell vetenskap angående problemlösning samt metodutveckling[3] – teoretisk därför för att den frigjort sig ifrån problemens konkreta ursprung samt generell därför för att den existerar tillämpbar inom en stort antal områden samt teoretiska modeller.[3] Alternativt förmå man även benämna den liksom enstaka vetenskap ifall kvantitativa relationer samt rumsliga strukturer inom den verkliga världen.[4] modell vid matematiska term existerar anförande, information, struktur, kvantiteter, utrymme samt deras förhållanden.[5][6] Antingen vilket abstrakta idé (ren matematik) alternativt tillämpningar inom vetenskapliga discipliner såsom fysik samt teknik (tillämpad matematik).[5]
Medan naturvetenskapen studera entiteter inom period samt plats existerar detta ej tydlig för att identisk existerar sant på grund av dem objekt vilket studeras inom matematik.[7] Vidare skiljer sig metoderna på grund av utredning åt: naturvetenskapen tenderar för att nyttja metoder från induktion samt matematiken metoder från deduktion.[7] från bland annat nämnda skäl väcker matematik ontologiska samt kunskapsteoretiska ämnen skilda ifrån vetenskapsteorin.[7] Dessa problem att diskutera behandlas inom matematikfilosofi.[7]
Etymologi
[redigera | redigera wikitext]Det grekiska termen mathemata betyder ungefär vad likt lärs, ibland inom ett generell bemärkelse, ibland relaterat mot astronomi, aritmetik samt musik.[8] termen mathemata samt dess släktord besitter inom efterhand trätt in inom etymologin hos andra europeiskaspråk.[8] Franska mathématiques, spanska matemáticas, latinska mathematica samt engelska mathematics besitter alltså en gemensamt ursprung.[9][8] Definitionen från termen matematik äger inte någonsin varit enhetlig samt besitter varierat genom historien samt mellan världsdelar vilket Europa, Kina samt Mellanöstern.[10] inom historisk undersökning angående matematik letas ekvivalenta mening inom andra kulturer. Genom för att undersöka dessa mening samt dem aktiviteter liksom förknippats tillsammans dessa äger historievetenskapen angående matematik utvecklats.[10]
I land besitter matematik kommit för att betyda skolämnet alternativt vetenskapen matematik, liksom inom meningarna ”lärobok inom matematik” samt ”professor inom matematik”. Ibland sägs vardagligt ”det existerar matematik”, tillsammans med avseende vid aritmetik vilket inom ”det existerar enkel för att räkna ut”.[11]
Substantivetmatte existerar inom vardagligt anförande slanguttryck på grund av termen matematik, i enlighet med Nationalencyklopedin besitter slanguttrycket funnits sedan 1924.[12] dem engelska motsvarigheterna existerar math (amerikansk engelska) samt maths (brittisk engelska, sedan 1890).[13]
Historia
[redigera | redigera wikitext]Matematiken besitter ett minimalt 4000 tid utdragen historia.[15] Vissa menar för att matematikens bakgrund går många längre bak; bland annat utvecklades matematik inom Sumer, södra Mesopotamien samt nuvarande Irak, inom samband tillsammans med utvecklandet från skrivkonsten samt läsandet till cirka 5000 kalenderår sedan.[16] Vår äldsta insikt angående människans bruk från matematik existerar ifrån antika Egypten samt Babylonien.[17] andra kulturer var matematik förekommit existerar grekisk, arabisk, kinesisk, indisk, mayansk samt amerikansk kultur.[18] dem matematiska ämnen såsom diskuterats äger varit, bland andra, algebra, utvärdering, anförande samt talteori, matematik samt topologi, matematisk fysik samt matematisk astronomi.[18]
Den förste matematikern känd nära namn hette Ahmes samt fanns enstaka egyptisk skrivare såsom runt 1650 f.Kr. skrev ned en antal matematiska bekymmer denne kallade antika skrifter.[19] Idag kallas Ahmes antika skrifter till Rhindpapyrusen.[19] Texten visar, tillsammans tillsammans med andra arkeologiska fynd såsom Plimpton 322 (mellan 1900 samt 1600 f.Kr., Babylonien) samt Moskva-papyrusen (ca 1700 f.Kr. Mellersta riket, Forntida Egypten), för att detta antika Egypten samt Babylonien, civilisationer före Antikens Grekland, ägde en välutvecklat numeriskt notationssystem.[19][20][21]
Matematiker
[redigera | redigera wikitext]Norman L. Biggs skriver inom sin lärobokDiscrete Mathematics: "Matematiker behandlar påståenden. Ofta handlar påståendena angående tal. Påståendena existerar antingen sanna alternativt falska. på grund av för att avgöra ifall en påstående existerar sant alternativt falskt behövs en bevis."[22][en 1]
Notation samt terminologi
[redigera | redigera wikitext]Matematiska term införs tillsammans ett definition vilket beskriver hur begreppet bör tolkas. denna plats presenteras en antal primär term inom modern matematik. Nedanstående bör dock ej tolkas vilket matematiska definitioner, utan försök för att förklara hur begreppen används.
Mängder
[redigera | redigera wikitext]En mängd existerar enstaka session objekt, mot modell enstaka möte anförande {1, 2, 3} vilket existerar ett ändlig mängd, {1, 2, 3, ...} existerar däremot ett oändlig mängd var punkterna markerar för att numreringen fortsätter. ett mängd utan innehåll kallas den tomma kvantiteten. ett mängd är kapabel bestå från flera delmängder. angående besitter numeriskt värde mängder, kunna man ta elementen vilket existerar gemensamma (snittet) alternativt ta elementen vilket finns inom någon mängd (unionen). Dessutom kunna man ta komplementet, dem element liksom ej finns inom den givna kvantiteten dock liksom finns inom den största tänkbara mängden.[23] Mängder samt dess operationer studeras inom mängdteori, var Zermelo-Fraenkels mängdteori existerar den vanligaste modellen.
Funktioner
[redigera | redigera wikitext]Funktioner tar värden ifrån en plats, definitionsmängden, samt tilldela värden inom en annat zon, värdemängden. Inom grundskolan existerar ofta dessa mängder kvantiteten från dem reella talen R.
Tal
[redigera | redigera wikitext]Matematikens numeriska struktur består bl.a. från dem naturliga talen, heltalen, dem rationella talen, dem reella talen samt dem komplexa talen. oss bör inom detta segment ge en förslag mot ett konstruktion från dem naturliga talen vilket använder sig från Peanos axiom. Utifrån denna konstruktion bör oss ge ett axiomatisk definition från heltalen; oss använder termen axiom till för att mena grundantaganden liksom ej existerar inom sig själva logiskt avledda konsekvens. Utifrån definitionen från heltal kunna oss konstruera dem rationella talen genom för att nyttja oss från strukturerade par från anförande. ett konstruktion från dem reella talen finns bland annat inom Richard Dedekind jobb.
Konstruktion från dem naturliga talen
[redigera | redigera wikitext]Med dem naturliga talen N, avser oss kvantiteten från icke-negativa heltal (0, 1, 2, osv). Intuitivt bygger oss dem läka talen genom för att börja tillsammans med en unikt element 0. Därefter associerar oss nästa anförande inom N tillsammans med 0+1, samt andra tillsammans med (0+1)+1, osv. ett sådan denna plats medvetande från dem naturliga talen existerar intuitiv, tillsammans med detta menat icke-formellt, eftersom + ej existerar ett väldefinierad operation. oss kunna ej heller, beneath denna perception, titta för att N existerar ett oändlig mängd, ty en argument till för att N existerar oändligt existerar följande: () antag för att detta finns en största element n inom N, då existerar n+1 inom N samt n+1 existerar större än n, således är kapabel ej n artikel detta största talet inom N samt via reductio ad absurdum innehåller ej N en största anförande. Notera påståendet för att n+1 existerar större än n, detta existerar ej sant eftersom oss ännu ej äger funnit någon matematisk fras tillsammans med "större än" alternativt "mindre än". Peanos axiom löser problemen ifrån denna diskussion:
Systemet , vars element oss kallar naturliga anförande, existerar enstaka mängd tillsammans en unikt element 0 samt ett funktion s ifrån N mot N sålunda för att nästa tre villkor existerar uppfyllda:
Några kommentarer: mot varenda naturligt anförande n säger oss för att s(n) existerar dess person som följer efter någon annan samt oss definierar s inom "konkreta" begrepp genom för att nedteckna . eftersom oss önskar för att varenda anförande inom N existerar icke-negativa existerar detta ej svårt för att titta för att (i) existerar en rimligt krav. Angående (ii): antag för att kravet ej vore uppfyllt. oss skulle då äga . Ofta inser oss för tillfället för att oss kunna subtrahera (en operation ej definierad vid , ty ifall subtraktion vore definierad vore ett icke-stängd mängd; dvs. för att detta finns element inom sådan för att ett tvådelad operation applicerad vid dem resulterar inom en element likt ej innheåller. T.ex: 0-1=-1 existerar ej inom ) samt för att n=m, således för att angående m existerar skilt ifrån n besitter oss en matematisk påverkan liksom ej existerar inom enlighet tillsammans allmän/kulturell/standardiserad matematisk intuition. detta existerar därför rimligt för att (ii) gäller. (iii) kallar oss till matematisk induktion. A förmå tänkas bestå från ett mängd attribut P(n) vilket beror vid naturliga anförande n inom . angående detta ifrån egenskapen, ibland kallat påstående, P(n) följer för att P(n+1) till samtliga n inom , säger oss för att P(n) håller på grund av samtliga n samt kunna nedteckna (mängden A utläses: kvantiteten från naturliga anförande n på grund av vilka P(n) gäller). för att induktion leder mot flera filosofiska bekymmer existerar bland annat välkänt efter David Hume.
Med notationen ifrån Peanos axiom definierar oss addition samt multiplikation.
Addition: på grund av element m, n inom besitter oss för att m+n existerar lika tillsammans s applicerad n gånger vid s(m). Kortfattat: . Då oss utför denna procedur säger oss för att oss adderar n mot m. Proceduren kallar oss addition. Därmed existerar + ett väldefinierad tvådelad operation.
Multiplikation: m*n fås från för att bygga ett funktion g såsom applicerar s m gånger, samt sen applicera g n gånger vid 0. Kortfattat: . Då oss utför denna procedur säger oss för att oss mångfaldigar m samt n. Proceduren kallar oss multiplikation. Därmed existerar * enstaka väldefinierad bestående av två delar operation.
Större än alternativt lika med: oss säger för att m existerar större än alternativt lika tillsammans n, skrivet , ifall ekvationen m=n+x besitter ett svar x inom N. beneath identisk villkor säger oss för att n existerar mindre än alternativt lika tillsammans med m. angående lösningen ges från x=0 säger oss för att m existerar lika tillsammans n samt skriver . angående lösningen x existerar nollskild, säger oss för att m existerar större än n samt skriver . Dvs: tecknet kunna utläsas "större än alternativt lika med".
Argumentet () på grund av för att existerar enstaka oändlig mängd existerar för tillfället giltigt baserat vid Peanos axiom.
Definition från heltalen
[redigera | redigera wikitext]existerar enstaka delmängd från heltalen .
Konstruktion från dem rationella talen
[redigera | redigera wikitext]existerar enstaka delmängd från dem rationella talen .
Konstruktion från dem reella talen
[redigera | redigera wikitext]existerar enstaka delmängd från dem reella talen .
Rum
[redigera | redigera wikitext]En vektor förmå ses likt enstaka register från anförande, kallade element. Vektorer kunna framträda inom koordinatsystem, alternativt definiera en sålunda kallat vektorrum. Dessa punkter är kapabel placeras samman mot geometriska figurer. enstaka vektor kunna inom stället till anförande bestå från andra objekt, likt följer vissa primär räkneregler. mot modell kunna polynom användas likt vektorer.
Matematisk notation
[redigera | redigera wikitext]Matematisk notation existerar symboler vilket låter matematiker uttrycka idéer koncist. mot modell tros symbolerna till addition samt subtraktion uppstått vid 1300-talet. Addition betecknas + samt subtraktion betecknas −.[24]
Delområden
[redigera | redigera wikitext]Aritmetik
[redigera | redigera wikitext]Vetenskapen angående anförande, samt operationer vid mängder från anförande, kallas aritmetik.[25] Aritmetiska operationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation samt division, vilket kallas dem fyra räknesätten. Dessutom ingår kongruensrelationen (att resten nära division existerar lika), faktorisering (uppdelning från en anförande inom faktor vilket multiplicerade ihop blir talet) samt potenser (att upphöja en anförande mot en annat).Operatorprioriteten avgör inom vilken ordning olika delar från en matematiskt formulering bör beräknas. Aritmetiken fanns ett sektion från quadrivium nära medeltida universitet.[26]
Geometri
[redigera | redigera wikitext]Geometri existerar vetenskapen ifall rumsliga strukturer. beneath 1600-talet vidaredefinierade René Descartes geometrin mot algebraiska formuleringar, en tema likt kom för att kallas analytisk matematik. Några följder från Descartes upptäckter existerar för att olika kägelsnitt kunde representeras inom struktur från korta ekvationer samt för att plana geometriska figurer kunde avbildas inom en kartesiskt koordinatsystem. Vetenskapen likt studera vinklar samt deras förhållanden mellan varandra kallas trigonometri, sambanden mellan geometriska samt trigonometriska satser existerar starka. inom modern period äger topologi blivit en viktigt enhet, var studeras rumsliga strukturer noggrann liksom inom geometrin tillsammans med undantaget för att formen, samt inga avstånd, hos objekten betraktas. Strukturerna förmå töjas alternativt dras ihop fast håligheter bör bevaras.[27]
Algebra
[redigera | redigera wikitext]Algebra existerar enstaka sorts vetenskap ifall kvantitativ balans. basal algebra, linjär algebra samt teoretisk algebra existerar modell vid områden vilket samtliga behandlar algebraiska strukturer, likt innehåller ett mängd, några operation samt räkneregler till dessa. basal algebra behandlar anförande samt linjär algebra matriser samt vektorer. teoretisk algebra alternativt modern algebra uppkom vid 1800-talet då bekymmer ifrån talteorin samt teorin till ekvationer ledde mot studien från abstrakta matematiska objekt såsom kunde artikel anförande, polynom, permutationer alternativt element inom andra mängder. dem aritmetiska operationerna förmå tillämpas vid dessa objekt.[28]
Matematisk analys
[redigera | redigera wikitext]Matematisk granskning handlar ifall förändring. enstaka massiv sektion från analysen består från teorier angående toleransnivåer, varur teorin ifall derivator, en mått vid förändring, samt integraler, gränsvärdet från enstaka summa, bildas. Ibland pratas detta ifall vektoranalys, var används matematisk bedömning samt linjär algebra till för att åtgärda bekymmer, oftast inom en tredimensionellt boende.
Diskret matematik
[redigera | redigera wikitext]Diskret matematik handlar angående heltalen. enstaka betydelsefull kvist existerar kombinatorik liksom samtalar om kombinationer samt permutationer från urval. Även grafteorin hör hit.[29]
Egenskaper samt metodik
[redigera | redigera wikitext]Matematiken söker abstrahera samt generalisera olika idé. mot modell förmå detta finnas anledning för att abstrahera begreppet symmetri, vilket bland annat leder mot galoisteori.[30]
Bevisföring
[redigera | redigera wikitext]Kortfattat existerar matematiska satser utfall avledda ifrån en antal påståenden, axiom, vilka existerar betraktade likt uppenbara samt sanna utan bevis. en axiom existerar ej ett förmodan alternativt ett antagande eller en förklaring som föreslås för att förklara något ty dem senare betraktas ej vilket uppenbara.[31]
En sats är kapabel betraktas såsom en sant matematiskt påstående. en bevis från enstaka sats verifierar för att satsen existerar ett otvetydig sanning. Beviset existerar enstaka verifikation inom den meningen för att den övertygar läsaren, tillsammans relevanta förkunskaper, angående för att satsen existerar verklig. Relevanta förkunskaper inkluderar kunskapen angående tidigare satser, axiom samt definitioner. då oss skriver definition, avser oss ett noggrant förklaring från en matematiskt mening alternativt ett matematisk fras. Ibland förekommer orden lemma samt följdsats på grund av sanna matematiska påståenden. en lemma existerar enstaka sats vars huvudsyfte existerar för att förenkla beviset från ett större sats. enstaka följdsats existerar ett direkt effekt från ett sats.[32]
Låt oss betrakta definitionen "ett heltaln existerar udda ifall n=2a+1 till något heltal a". oss påstår för att "7 existerar en udda heltal" existerar en sant matematiskt påstående. Genom för att sätta "a=3" inom definitionen besitter oss bevisat för att 7 existerar en udda heltal, eftersom 7=2·3+1.[32]
Den brittiska matematikern Bertrand Russell (1872–1970) skrev: